专业回答
第一题：
1/2sinα=cos²(α/2)-sin²(α/2)
所以 1/2sinα=cosα
所以 sinα/cosα=2
即 tanα=2
(1) 2sinα+cos2α
=2sinαcosα+cos²α-sin²α
=(2sinαcosα+cos²α-sin²α)/1
=(2sinαcosα+cos²α-sin²α)/(cos²α+sin²α)
=(2sinαcosα/cos²α+cos²αcos²α-sin²α/cos²α)/(cos²α/cos²α+sin²α/cos²α)
=(2tanα+1-tan²α)/(1+tan²α)
=(2x2+1-2²)/(1+2²)
=1/5
所以 2sinα+cos2α=1/5
(2)α∈(0，π)，β∈(π/2，π)
而 tanα=2＞0， 所以 α∈(0，π/2)
所以 π/2＜α+β＜3/2π
因为6tan²β-tanβ-1=0
所以(3tanβ+1)(2tanβ-1)=0
所以 tanβ=-1/3 或者 tanβ=1/2
而β∈(π/2，π)， 则tanβ＜0
所以 tanβ=-1/3
tan(α+β)
=(tanα+tanβ)/(1-tanαxtanβ)
=(2-1/3)/[1-2x(-1/3)]
=(5/3)/(5/3)
=1
而 π/2＜α+β＜3/2π
所以 α+β=5/4π
第二题：
f(x)=√2sin(2x-π/4)+2sinxcosx+2sin²x-1
=√2sin(2x-π/4)+sin2x-cos2x
=√2sin(2x-π/4)+√2(√2sin2x-√2/2cos2x)
=√2sin(2x-π/4)+√2[sin2xcos(π/4)-sin(π/4)cos2x]
=√2sin(2x-π/4)+√2sin(2x-π/4)
=2√2sin(2x-π/4)
(1) f(x)=2√2sin(2x-π/4)
(2) 最小正周期 T=2π÷2=π
当0≤x≤11/24π时，0≤2x≤11/12π
则 -π/4≤2x-π/4≤2/3π
所以 -√2/2≤sin(2x-π/4)≤1
所以-2≤2√2sin(2x-π/4)≤2√2
即x∈[0,11/12π]时， f(x)∈[-2,2√2]
最小值为-2， 最大值2√2
(3) g(x)=2√2sin(x-π/4)
h(x)=2√2sin[(x-π/4)-π/4]=2√2sin(x-π/2)=-2√2cosx
y=h(x)+√2，则 y=-2√2cosx+√2=0
所以cosx=1/2
在[0， m]上，则 x=π/2+kπ，k∈N,
在[0，m]上至少有30个解，则 m最小为m=π/2+29π=59/2π
所以m最小为 59/2π
第三题：
(1) f(x)=(2^x+a)/(2^x-a)为奇函数
则 f(x)=-f(-x)
即 (2^x+a)/(2^-a)=-[2^(-x)+a]/[2^(-x)-a]
所以 (2^x+a)/(2^-a)=-(1+a·2^x)/(1-a·2^x)
得到：2·2^x-2a²·2^x=0
因为 2^x≠0
所以2-2a²=0
则a²=1
所以 a=1 或者a=-1
(2) 若a＜0则 a=-1
f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)
f(x)定义域为R， 取x1＜x2∈R，
f(x2)-f(x1)
=(2^x2-1)/(2^x2+1)-(2^x1-1)/(2^x1+1)
=[(2^x2-1)(2^x1+1)-(2^x1-1)(2^x2+1)]/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
=2(2^x2-2^x1)/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
因为x1＜x2， 则2^x2＞2^x1
所以2^x2-2^x1＞0， 且(2^x1+1)(2^x2+1)＞0
所以f(x2)-f(x1)＞0
则 f(x2)＞f(x1)
所以 f(x)在 R上单调递增
(3)根据(2) f(x)在R上单调递增
所以当m≤x≤n时，