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这道题考察的是四维空间中的线面平行关系。在不使用建系法和向量法的情况下，我们可以通过纯几何的“正交分解”与“投影”思想来破解。
答案是：**√3**。
以下是详细的纯几何推导过程：
### 第一步：分析平面 ABC₃ 的几何特征
在四维正方体中，平面 ABC₃ 由直线 AB 和点 C₃ 确定。
* 底面 ABCD 是正方形，AB ⊥ AD。
* 点 C₃ 可以看作是从点 C 出发，沿着第三维方向（即 AA₁ 方向）移动了棱长 2，再沿着第四维方向（即 AA₂ 方向）移动了棱长 2 得到的。
* 因此，在平面 ABC₃ 内，从直线 AB 向 C₃ 延伸的过程中，**沿第三维和第四维方向的位移是相等的**。
* 换句话说，如果一条直线平行于平面 ABC₃，那么这条直线在第三维和第四维方向上的位移分量必须相等（因为它在 AB 方向上的分量不会影响这两个维度的平衡）。
### 第二步：利用平行条件确定点 F 的位置
已知 EF ∥ 平面 ABC₃。我们来看线段 EF 在第三维和第四维上的位移：
* 点 E 在棱 AD 上，没有第三维和第四维的位移（位移为 0）。
* 点 F 在棱 D₁D₂ 上。D₁D₂ 是一条连接 D₁（仅第三维有位移 2）和 D₂（仅第四维有位移 2）的线段。
* 设点 F 在第三维上的位移为 x，由于 D₁D₂ 总长度为 2，那么它在第四维上的位移就是 2 - x。
* 因为 EF ∥ 平面 ABC₃，所以 EF 在第三维和第四维的位移必须相等，即：
x = 2 - x => 2x = 2 => x = 1
* 这说明点 F 恰好是棱 D₁D₂ 的**中点**。
### 第三步：计算线段 EF 的长度
现在我们已经确定了 E 和 F 的具体位置，可以将线段 EF 分解为三个两两垂直的方向上的位移（类似于三维空间中的勾股定理，四维空间同样适用）：
1. **沿 AD 方向的位移**：E 是 AD 的中点，而 F 对应的底点相当于 D 点，所以这一段在 AD 方向上的位移为棱长的一半，即 1。
2. **沿第三维方向的位移**：由第二步可知，位移为 1。
3. **沿第四维方向的位移**：由第二步可知，位移也为 1。
由于这三个方向在四维空间中相互垂直，根据四维空间的距离公式（勾股定理的推广）：
EF = √(1² + 1² + 1²) = √3
因此，线段 EF 的长度为 **√3**。